私の本棚39 - 確率論（熊谷）

 続いても確率論です。

熊谷隆, 「確率論」

内容は以下のとおりです。

第1章 確率論の基礎

第2章 いろいろな確率過程

第3章 電気回路とランダムウォーク

これまで紹介してきた3冊の中では一番コンパクトです。第1章の「確率論の基礎」は50ページ余りで終わって確率過程の話に入るので、基礎に時間をかけたくない方や、舟木、伊藤などの他書で基礎を学んだ方が応用を見てみるのに向いていると思います。

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Bien cordialement,

Ermite Parfait

私の本棚38 - 確率論（伊藤）

 続いても確率論の書籍です。

伊藤清, 「確率論」

内容は以下のとおりです。

第1章 有限試行

第2章 確率測度

第3章 確率論の基礎概念

第4章 独立確率変数の和

第5章 確率過程

カバー範囲は前述の舟木直久と似たような感じですが、こちらのほうがかなり細かいことまで書いてあります。確率論を本格的に勉強するのに本1冊で済ませたい場合には本書がベストでしょう。

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Bien cordialement,

Ermite Parfait

私の本棚37 - 確率論（舟木）

 続いては、

舟木直久, 「確率論」

内容は以下のとおりです。

1. 確率論を学ぶにあたって

2. 確率論の基礎概念

3. 条件つき確率と独立性

4. 大数の法則

5. 中心極限定理と少数の法則

6. マルチンゲール

7. マルコフ過程

確率論の本は後の記事にも書きますが、伊藤清、熊谷隆も持っています。それらの中では本書が基本的なことを一番丁寧に書かれているため、最初の一冊にはベストだと思います。

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Bien cordialement,

Ermite Parfait

私の本棚36 - 確率論の基礎概念

 確率論の書籍に入ります。まずは、

A.N. コルモゴロフ, 「確率論の基礎概念」

現在では確率論は測度論から入るのが当たり前ですが、この本が出版された当時は画期的だったようですね。

基礎概念を定式化して大数の法則までを書いているので応用的な話はありませんが、すっきりと綺麗にまとまっているので良いです。

現在出版されているのはちくま学芸文庫版です。東京図書版に少し追加されている内容があるようです。

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Bien cordialement,

Ermite Parfait

私の本棚35 - Theorie der Funktionen mehrerer komplexer Veränderlichen

続いては、

H. Behnke, P. Thullen, Theorie der Funktionen mehrerer komplexer Veränderlichen

ドイツ語の本です。内容は以下のとおりです。

Kapitel I. Bereiche über dem erweiterten Raume

Kapitel II. Geometrische Grundlagen

Anhang zu Kap. I und II. Konstruktion und Theorie der komplexen Räume

Kapitel III. Darstellung regulärer Funktionen durch elementare Reihen

Anhang zu Kap. III. Funktionalanalytische Fortsetzungsmethoden

Kapitel IV. Singuläre Mannigfaltigkeiten

Anhang zu Kap. IV. Das Levische Problem

Kapitel V. Die Verteilung der Nullstellen und außerwesentlichen Singularitäten

Anhang zu Kap. V. Cartansche Verheftungstheorie

Kapitel VI. Theorie der Regularitätsbereiche und Regularitätshüllen

Anhang zu Kap. VI. Holomorphiegebiete

Kapitel VII. Abbildungstheorie

Anhang zu Kap. VII. Abbildungstheorie

Anhang. Kohärente analytische Garben

Bien cordialement,

Ermite Parfait

私の本棚34 - Several Complex Variables

 続いては、

M. Hervé, Several Complex Variables

内容は以下のとおりです。

I. Basic Properties of Holomorphic Functions of Several Variables

II. The Ring of Germs of Holomorphic Functions at a Point

III. Analytic Sets: a Local Description

IV. Local Properties of Analytic Sets

これもコンパクトにまとまった本ですが、現時点では入手が難しそうです。

Bien cordialement,

Ermite Parfait

私の本棚33 - An Introduction to Complex Analysis in Several Variables

多変数函数論の書籍、続いては、

L. Hörmander, An Introduction to Complex Analysis in Several Variables

内容は以下のとおりです。

Chapter I: Analytic Functions of One Complex Variable

Chapter II: Elementary Properties of Functions of Several Complex Variables

Chapter III: Applications to Commutative Banach Algebras

Chapter IV: \(L^2\) Estimates and Existence Theorems for the \(\bar{\partial}\) Operator

Chapter V: Stein Manifolds

Chapter VI: Local Properties of Analytic Functions

Chapter VII: Coherent Analytic Sheaves on Stein Manifolds

ヘルマンダーらしく偏微分方程式の観点から簡潔にまとまった多変数複素解析の本です。

Bien cordialement,

Ermite Parfait

私の本棚32 - 多変数解析関数論

続いては 多変数函数論の書籍に移ります。

野口潤次郎「多変数解析関数論」

内容は以下のとおりです。

1. 正則関数

2. 岡の第1連接定理

3. 層のコホモロジー

4. 正則凸領域と岡-カルタンの基本定理

5. 正則領域

6. 解析的集合と複素空間

7. 擬凸領域と岡の定理

8. 連接層コホモロジーと小平の埋め込み定理

この本の副題が「学部生へおくる岡の連接定理」とあるように、岡潔を前面に出している点で他書とはアプローチが違っているように思います。本文の後に書かれている「連接性について」と「余録」も興味深いです。

現在販売されているのは第2版です。

多変数解析関数論（第2版） 学部生へおくる岡の連接定理 [ 野口　潤次郎 ] 価格：7150円（税込、送料無料) (2020/8/18時点)

Bien cordialement,

Ermite Parfait

私の本棚31 - 超函数の理論

 続いては、

L. シュワルツ「超函数の理論」

L. Schwartzの"Théorie des Distributions"の日本語訳で、内容は以下のとおりです。

第1章: 超函数の定義と一般的性質

第2章: 超函数の微分法

第3章: 超函数の位相空間、超函数の構造

第4章: 超函数のテンソル積

第5章: 超函数の乗法

第6章: 合成積

第7章: フーリエ変換

第8章: ラプラス変換

第9章: 多様体上のカレント

超函数（Distribution）について理論だけではなく背景や応用なども丁寧に書かれているのでとても参考になります。

現在はオンデマンド版が販売されているようです。

超函数の理論　原書第3版 岩波オンデマンドブックス 三省堂書店オンデマンド 価格：7150円（税込、送料無料) (2020/8/18時点)

Bien cordialement,

Ermite Parfait

私の本棚30 - The Fourier Integral and Certain of Its Applications

 続いては、

N. Wiener, The Fourier Integral and Certain of Its Applications

最初に出版されたのが1933年ということでかなり古い本です。内容は以下のとおり。

Chapter I: Plancherel's theorem

Chapter II: The General Tauberian Theorem

Chapter III: The Special Tauberian Theorems

Chapter IV: Generalized Harmonic Analysis

コンパクトで読みやすい本なのでいいです。

Bien cordialement,

Ermite Parfait

私の本棚29 - An Introduction to Harmonic Analysis

 続いては、

Y. Katznelson, An Introduction to Harmonic Analysis

内容は以下のとおりです。

Chapter I: Fourier Series on T

Chapter II: The Convergence of Fourier Series

Chapter III: The Conjugate Function and Functions Analytic in the Unit Disc

Chapter IV: Interpolation of Linear Operators and the Theorem of Hausdorff-Young

Chapter V: Lacunary Series and Quasi-analytic Classes

Chapter VI: Fourier Transforms on the Line

Chapter VII: Fourier Analysis on Locally Compact Abelian Groups

Chapter VIII: Commutative Banach Algebras

以前に挙げたW. Rudinの本

私の本棚26 - Fourier Analysis on Groups

とかぶっている部分がありますが、こちらのほうが基礎的な本だと思います。

現在販売されているのは第3版で出版元も変わっているようです。

Bien cordialement,

Ermite Parfait

私の本棚28 - Nonlinear Functional Analysis

 続いては、

J.T. Schwartz, Nonlinear Functional Analysis

本書は無限次元の位相空間や多様体の観点で非線形解析を扱っています。内容は以下のとおりです。

Chapter I: Basic Calculus

Chapter II: Hard Implicit Functional Theorems

Chapter III: Degree Theory and Applications

Chapter IV: Morse Theory on Hilbert Manifolds

Chapter V: Category

Chapter VI: Applications of Morse Theory to Calculus of Variations in the Large

Chapter VII: Applications

Chapter VIII: Closed Geodesics on Compact Riemannian Manifolds

200ページほどのコンパクトな本で記述も簡潔にまとまっています。

現在は中古でしか入手できなさそうですね。

Bien cordialement,

Ermite Parfait

私の本棚27 - Functional Analysis

以前に微分方程式の書籍

私の本棚16 - 微分方程式の解法

を紹介しましたが、同じ吉田耕作による函数解析の本です。YoshidaではなくYosida（笑）。

K. Yosida, Functional Analysis

この本は内容が盛りだくさんです。

I. Semi-norms

II. Applications of the Baire-Hausdorff Theorem

III. The Orthogonal Projection and F. Riesz' Representation Theorem

IV. The Hahn-Banach Theorems

V. Strong Convergence and Weak Convergence

VI. Fourier Transform and Differential Equations

VII. Dual Operators

VIII. Resolvent and Spectrum

IX. Analytical Theory of Semi-groups

X. Compact Operators

XI. Normed Rings and Spectral Representation

XII. Other Representation Theorems in Linear Spaces

XIII. Ergodic Theory and Diffusion Theory

XIV. The Integration of the Equation of Evolution

記述は簡潔ですが飛躍したりはしないので読めば理解はできるのですが、定義 - 定理 - 証明 ・・・と延々と続くので心が折れてしまうことはあります。通読するよりは辞書的な使い方のほうが価値があると思います。

読んでいて面白いのはW. Rudin

私の本棚25 - Functional Analysis

もしくは、コルモゴロフ, フォミーンでしょう。

私の本棚24 - 函数解析の基礎

私が持っているのはハードカバーですが、現在販売されているのはソフトカバーのようです。

Bien cordialement,

Ermite Parfait

私の本棚26 - Fourier Analysis on Groups

W. Rudinの書籍

私の本棚25 - Functional Analysis

を挙げたので、同じ著者の本をもう一冊。

W. Rudin, Fourier Analysis on Groups

本書の構成は下記のとおりです。

Chapter 1: The Basic Theorems of Fourier Analysis

Chapter 2: The Structure of Locally Compact Abelian Groups

Chapter 3: Idempotent Measures

Chapter 4: Homomorphisms of Group Algebras

Chapter 5: Measures and Fourier Transforms on Thin Sets

Chapter 6: Functions of Fourier Transforms

Chapter 7: Closed Ideals in \(L^1(G)\)

Chapter 8: Fourier Analysis on Ordered Groups

Chapter 9: Closed Subalgebras of \(L^1(G)\)

Appendixに位相、Banach環、測度論が簡単にまとめられてはいますが、基本的にこのあたりは理解した上で読むものでしょう。初っ端にHaar Measureも出てきますので、

私の本棚14 - Measure Theory

を必要であれば読むとよいでしょう。

一つ前の記事の「Functional Analysis」に比べると少し読みにくいかもしれませんが、類書できちんとまとまったものもあまり見かけないので、価値のある本だと思います。

Bien cordialement,

Ermite Parfait

私の本棚25 - Functional Analysis

函数解析の書籍、続いては、

W. Rudin, Functional Analysis

この本は先述のコルモゴロフ, フォミーンの

私の本棚24 - 函数解析の基礎

とは異なり、集合と位相、ルベーグ積分などは前提として、位相線形空間から超函数（Distributions）とFourier変換、Banach環とスペクトル理論をカバーしています。

記述は無駄なくすっきりとしていますが無味乾燥ではないので、通読するにも適していると思います。

現時点では中古でしか入手できなさそうなのが難点でしょうか。

Bien cordialement,

Ermite Parfait

私の本棚24 - 函数解析の基礎

函数解析の書籍の紹介です。

コルモゴロフ, フォミーン「函数解析の基礎」

本書の構成は下記のとおりです。

[上巻]

第1章 集合論の基礎

第2章 距離空間と位相空間

第3章 ノルム空間と位相線形空間

第4章 線形汎函数と線形作用素

第5章 測度論

[下巻]

第6章 Lebesgue不定積分, 微分論

第7章 可積分函数の空間

第8章 三角級数, Fourier変換

第9章 線形積分方程式

第10章 線形空間における微分法の基礎

補遺 Banach環

集合と位相、測度論・積分論などは後の参照目的に概要を羅列しているのではなく、丁寧に説明しているのでその分野の学習にも役立つと思います。それらを利用して函数解析の基礎的な部分を理解することができます。

物理学書ではランダウ、リフシッツ、数学書ではアーノルドなどもそうですが、ロシア系の学者の特徴なのでしょうか、物事の本質、意味を理解させようとする教育的な配慮は本書でも強く感じます。定義-定理-証明・・・が延々と続く本とは違って読んでいて飽きません。

とてもお薦めの一冊、というか二冊です。

現在出版されているのは下記のオンデマンド版のようです。

函数解析の基礎 原書第4版 上 岩波オンデマンドブックス 三省堂書店オンデマンド 価格：8800円（税込、送料無料) (2020/8/4時点)

函数解析の基礎 原書第4版 下 岩波オンデマンドブックス 三省堂書店オンデマンド 価格：6820円（税込、送料無料) (2020/8/4時点)

本書を読んでもう少し高度な本を読みたい場合は、W. Rudin

私の本棚25 - Functional Analysis

をどうぞ。

Bien cordialement,

Ermite Parfait

私の本棚19 - 複素解析

続いても複素解析の書籍です。

高橋礼司「複素解析」

この著者は先述のカルタンの「複素函数論」の訳者でもあります。

本書は複素数の話から入って基本を一通り解説していますが、Ahlforsのように複素解析を初めて学ぶ人にも分かりやすいという本ではないかもしれません。ですが、一度出てきたコーシーの積分定理をホモトピー、ホモロジーの観点から見たり、楕円函数、\(\Gamma\)函数、\(\zeta\)函数に紙数を割いていたりして、複素解析をある程度理解していると面白く読めると思います。

複素解析新版 （基礎数学） [ 高橋礼司 ] 価格：2860円（税込、送料無料) (2020/7/17時点)

Bien cordialement,
Ermite Parfait

私の本棚18 - 複素函数論

続いても複素解析の書籍です。

原書はフランス語の

H. Cartan, Théorie élémentaire des fonctions analytiques d'une ou plusieurs variables complexes

ですが私が持っているのは日本語訳と英語訳の2冊です。

H. カルタン「複素函数論」（高橋禮司訳）
H. Cartan, Elementary Theory of Analytic Functions of One or Several Complex Variables

初めに日本語版を持っていたのですが、たまたまネットで英語版の第2版みたいなタイトルのものを見つけて、安かったので買ってみたら、結局内容は同じものでした。

前の記事のAhlforsに比べると記述は簡潔で微分形式を使ったり多変数も少し触れていたりするところが異なります。この後で多変数函数論や多様体論に進む方にはこちらが面白いかもしれません。

Bien cordialement,
Ermite Parfait

私の本棚17 - Complex Analysis

複素解析の書籍の整理に移ります。

L.V. Ahlfors, Complex Analysis

この本は複素数の定義などの基本的なところから入り、1変数の複素解析を一通り解説しています。説明は丁寧になされているので、ギャップを感じることなく他書を参照する必要もなく読み進められる良い本です。特別に好みなどがなければ複素解析はこの本で決まりという気がします。

英語版の新品の販売が見当たらないので日本語訳を挙げておきます。

複素解析 [ ラールス・ヴァレリアン・アールフォルス ] 価格：4730円（税込、送料無料) (2020/7/17時点)

Bien cordialement,
Ermite Parfait

私の本棚16 - 微分方程式の解法

続いても微分方程式の書籍です。

吉田耕作「微分方程式の解法」

この本は岩波全書で出ていたもののオンデマンド版です。

「解法」というタイトルですが解の存在と一意性の証明なども書かれている本格的な書籍です。普通の微積分の予備知識で読めますが、常微分方程式は1階からn階、偏微分方程式も1階から2階の双曲形、楕円形、放物形まで書かれていてかなり内容豊富です。300ページほどの小さいサイズの本にこれだけ詰まっているので記述は簡潔です。通読しなくても必要な部分だけ読むのも良いでしょう。後で書く予定の同著者の「Functional Analysis」も簡潔で内容豊富ですが、どちらも読んでいて面白いという感じはないです。

微分方程式の解法　第2版 岩波オンデマンドブックス 三省堂書店オンデマンド 価格：5280円（税込、送料無料) (2020/7/17時点)

Bien cordialement,
Ermite Parfait