私の本棚35 - Theorie der Funktionen mehrerer komplexer Veränderlichen

続いては、

H. Behnke, P. Thullen, Theorie der Funktionen mehrerer komplexer Veränderlichen

ドイツ語の本です。内容は以下のとおりです。

Kapitel I. Bereiche über dem erweiterten Raume

Kapitel II. Geometrische Grundlagen

Anhang zu Kap. I und II. Konstruktion und Theorie der komplexen Räume

Kapitel III. Darstellung regulärer Funktionen durch elementare Reihen

Anhang zu Kap. III. Funktionalanalytische Fortsetzungsmethoden

Kapitel IV. Singuläre Mannigfaltigkeiten

Anhang zu Kap. IV. Das Levische Problem

Kapitel V. Die Verteilung der Nullstellen und außerwesentlichen Singularitäten

Anhang zu Kap. V. Cartansche Verheftungstheorie

Kapitel VI. Theorie der Regularitätsbereiche und Regularitätshüllen

Anhang zu Kap. VI. Holomorphiegebiete

Kapitel VII. Abbildungstheorie

Anhang zu Kap. VII. Abbildungstheorie

Anhang. Kohärente analytische Garben

Bien cordialement,

Ermite Parfait

私の本棚34 - Several Complex Variables

 続いては、

M. Hervé, Several Complex Variables

内容は以下のとおりです。

I. Basic Properties of Holomorphic Functions of Several Variables

II. The Ring of Germs of Holomorphic Functions at a Point

III. Analytic Sets: a Local Description

IV. Local Properties of Analytic Sets

これもコンパクトにまとまった本ですが、現時点では入手が難しそうです。

Bien cordialement,

Ermite Parfait

私の本棚33 - An Introduction to Complex Analysis in Several Variables

多変数函数論の書籍、続いては、

L. Hörmander, An Introduction to Complex Analysis in Several Variables

内容は以下のとおりです。

Chapter I: Analytic Functions of One Complex Variable

Chapter II: Elementary Properties of Functions of Several Complex Variables

Chapter III: Applications to Commutative Banach Algebras

Chapter IV: \(L^2\) Estimates and Existence Theorems for the \(\bar{\partial}\) Operator

Chapter V: Stein Manifolds

Chapter VI: Local Properties of Analytic Functions

Chapter VII: Coherent Analytic Sheaves on Stein Manifolds

ヘルマンダーらしく偏微分方程式の観点から簡潔にまとまった多変数複素解析の本です。

Bien cordialement,

Ermite Parfait

私の本棚32 - 多変数解析関数論

続いては 多変数函数論の書籍に移ります。

野口潤次郎「多変数解析関数論」

内容は以下のとおりです。

1. 正則関数

2. 岡の第1連接定理

3. 層のコホモロジー

4. 正則凸領域と岡-カルタンの基本定理

5. 正則領域

6. 解析的集合と複素空間

7. 擬凸領域と岡の定理

8. 連接層コホモロジーと小平の埋め込み定理

この本の副題が「学部生へおくる岡の連接定理」とあるように、岡潔を前面に出している点で他書とはアプローチが違っているように思います。本文の後に書かれている「連接性について」と「余録」も興味深いです。

現在販売されているのは第2版です。

多変数解析関数論（第2版） 学部生へおくる岡の連接定理 [ 野口　潤次郎 ] 価格：7150円（税込、送料無料) (2020/8/18時点)

Bien cordialement,

Ermite Parfait

私の本棚19 - 複素解析

続いても複素解析の書籍です。

高橋礼司「複素解析」

この著者は先述のカルタンの「複素函数論」の訳者でもあります。

本書は複素数の話から入って基本を一通り解説していますが、Ahlforsのように複素解析を初めて学ぶ人にも分かりやすいという本ではないかもしれません。ですが、一度出てきたコーシーの積分定理をホモトピー、ホモロジーの観点から見たり、楕円函数、\(\Gamma\)函数、\(\zeta\)函数に紙数を割いていたりして、複素解析をある程度理解していると面白く読めると思います。

複素解析新版 （基礎数学） [ 高橋礼司 ] 価格：2860円（税込、送料無料) (2020/7/17時点)

Bien cordialement,
Ermite Parfait

私の本棚18 - 複素函数論

続いても複素解析の書籍です。

原書はフランス語の

H. Cartan, Théorie élémentaire des fonctions analytiques d'une ou plusieurs variables complexes

ですが私が持っているのは日本語訳と英語訳の2冊です。

H. カルタン「複素函数論」（高橋禮司訳）
H. Cartan, Elementary Theory of Analytic Functions of One or Several Complex Variables

初めに日本語版を持っていたのですが、たまたまネットで英語版の第2版みたいなタイトルのものを見つけて、安かったので買ってみたら、結局内容は同じものでした。

前の記事のAhlforsに比べると記述は簡潔で微分形式を使ったり多変数も少し触れていたりするところが異なります。この後で多変数函数論や多様体論に進む方にはこちらが面白いかもしれません。

Bien cordialement,
Ermite Parfait

私の本棚17 - Complex Analysis

複素解析の書籍の整理に移ります。

L.V. Ahlfors, Complex Analysis

この本は複素数の定義などの基本的なところから入り、1変数の複素解析を一通り解説しています。説明は丁寧になされているので、ギャップを感じることなく他書を参照する必要もなく読み進められる良い本です。特別に好みなどがなければ複素解析はこの本で決まりという気がします。

英語版の新品の販売が見当たらないので日本語訳を挙げておきます。

複素解析 [ ラールス・ヴァレリアン・アールフォルス ] 価格：4730円（税込、送料無料) (2020/7/17時点)

Bien cordialement,
Ermite Parfait

はじめに

Ermite Parfaitと申します。はじめまして。

「自己紹介」に書きましたとおり、私は自称世捨て人として生きている人間です。私が日頃どんなことを考えているかを暇なときに綴っていきたいと思います。

さて、自己紹介のプロフィール画像にある数式

$$ \int_{\partial M} \omega = 0 $$ は

[Stokesの定理]
-----------
Mが向きの付けられた境界のあるn次元可微分多様体、\(\omega\)がM上のコンパクトな台を持つ(n-1)次微分形式とすると下記が成り立つ。

$$ \int_{\partial M} \omega = \int_M d \omega $$ ----------

において\(\omega\)が閉微分形式の場合にあたります。

複素解析の世界でこれに似た定理として、

[Cauchyの積分定理]
----------
Dを単連結領域、fをD上の正則関数、CをD内の閉曲線とすると下記が成り立つ。

$$ \oint_C f(z)dz = 0 $$ ----------

人間の世界でこれに似た定理として、

[Ermiteの定理]
----------
通常の人間が人生1周で得るものと失うものを差し引きすると0。
----------

ということで、私のプロフィール画像と自己紹介がつながりました。今後の記事では「Ermiteの定理」としてしばしば引用することになる、かどうかは分かりません。

微分形式をきっちりと定義せずにざっくりと使ってCauchyの積分定理などを導いている複素解析の書籍として下記を挙げておきます（原書はフランス語なので英訳です）。

Henri Cartan, "Elementary Theory of Analytic Functions of One or Several Complex Variables"
（邦訳: 高橋禮司訳「複素函数論」）

多様体と微分形式については志賀浩二「多様体論」などをどうぞ。

Bien cordialement,
Ermite Parfait